Эпический PosInRange без вещь-чисел и переполнения

[mikser]

Даны две точки нужно проверить превышает ли расстояние между ними наше число Radius. Известно что Radius не отрицательно.
Или иными словами попадает ли наша точка в сферу с радиусом Radius или не попадает. То есть на выходе False/True;
Нужно обойтись без вещественных чисел, тоесть всякие float, extendet, real, double и тд запрещено использовать.

Type
  TPoint= record 
   x,y,z:integer;
  end;
function isInSphere(Center:TPoint;Radius:integer;P:TPoint):Boolean;
begin
 ...
{result:= Истина если точка внутри сферы иначе Ложь}
end;

Нужно запилить такую функцию что бы не было переполнения, так как координаты x,y,z обещают быть большими. И её потом можно было юзать в боте для ладвы

PS Да кстати простое использование int64 не поможет, даже его может не хватить.

PSS Думаю надо упрощать формулу SQRT ( (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2 ) < Radius

Добавлено через 1 час 24 минуты
Вот мой черновой набросок

Type
  TPoint= record 
   x,y,z:integer;
  end;
function isInSphere(Center:TPoint;R:int64;P:TPoint):Boolean;
var a,b,c, AB, Left, Right:int64;
begin
	with Center  do
	begin
		a:= int64(P.x) - int64(x);
		b:= int64(P.y) - int64(y);
		c:= int64(P.z) - int64(z);
	end;//with Center
	{
		SQRT(a*a + b*b + c*c) < R
		Упрощаем:
		//^2 - возведение в квадрат
		слева и справа положительные числа => при возведении в квадрат обоих частей знак не поменяется
		a^2 + b^2 + c^2 < R^2 	
		прибавим к обоим частям +2ab //2 * a * b
		(a^2 +2ab + b^2) + c^2 < R^2 +2ab
		да это же квадрат суммы!!!
		(a+b)^2 + c^2 < R^2 + 2ab
		добавим к обоим частям 2*с(a+b) // Почему именно это, а вот так захотелось
		((a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2) < R^2 + 2ab + 2(a+b)c
		омг да это опять квадрат суммы
		((a+b) + c)^2  <  R^2 + 2ab + 2(a+b)c
		Делим обе части на R^2 | знак неравнства не пострадает так как R^2  неотрицателен 
		(a+b+c)^2 / R^2 < 1 + (2ab+2(a+b)c) /R^2
		в левой части выносим квадрат за скобки
		( (a+b+c) / R )^2 < 1 + (2ab+2(a+b)c) /R^2
		вычтем 1^2 из обоих частей //1^2 = 1
		( (a+b+c) / R )^2 - 1^2   <   (2ab+2(a+b)c) /R^2
		Вспоминаем формулу разность квадратов  p^2 - t^2 = (p-t)*(p+t)
		(( (a+b+c) / R ) - 1) * (( (a+b+c) / R ) + 1)   <   (2ab+2(a+b)c) /R^2
		Заталкиваем еденицы в чсилитель умножив их на R - (знаменатель)
		( (a+b+c - R) / R  ) * ( (a+b+c + R ) / R )     <   (2ab+2(a+b)c) /R^2
		что бы умножить две дроби нужно просто перемножить их верх и низ :)
		круто что в знаменателе получится R^2
		 (a+b+c - R) * (a+b+c + R ) / R^2      <   (2ab+2(a+b)c) /R^2
		 Делим обе части на R^2 так как квадрат  не отрицателен всегда то знак не пострадает
		 Молимся что бы R не оказался нулем и делим.
		 (a+b+c - R) * (a+b+c + R )      <   (2ab+2(a+b)c)
		 Выражение упростилось :)
		 Теперь начинается гиморой
		 делим обе части на a*b Но если А* B отрицателен то 
		 знак неравенства поменяется вот мляя :(
		 Придется это отслеживать
			
			Пусть ab>0
				(a+b+c - R) * (a+b+c + R )  /ab     <   (2ab+2(a+b)c) /ab
				правую часть  упростим как можем
				(a+b+c - R) * (a+b+c + R )  /ab     <   2 + (2(a+b)c)/ab
				левую скобку разделим на А а правую на B -
				((a+b+c - R) /a) * ((a+b+c + R )/b )   <   2 + (2(a+b)c)/ab
				сокращаем в левой части что можем
				(1+(b+c-R)/a) * ( 1 +(a+c+R)/b )   <   2 + (2(a+b)c)/ab
				А вот дальше я не могу упростить :(
 	 
			Пусть ab<0  будет тоже самое что и  в предыдущем случа однако знак неравнества сменится
				(1+(b+c-R)/a) * ( 1 +(a+c+R)/b )   >   2 + (2(a+b)c)/ab
		 
			Пусть аb=0
				(a+b+c - R) * (a+b+c + R )      <   (2ab+2(a+b)c)
				Подставляем ab=0 
				(a+b+c - R) * (a+b+c + R )      <   2(a+b)c
				ab=0 значит а или b равно нулю или они оба нули
				пусть а = 0
					(b+c - R) * (b+c + R )      <   2bc
					
				пусть b = 0
					(a+c - R) * (a+c + R )      <   2ac
				пусть a = b = 0
					(c - R) * (c + R )      <   0

	}
	AB:=a*b;
	
	if (AB=0)then //нельзя делить на AB
	begin
		result:= (a+b+c-R) * (a+b+c + R )    <   2*(a+b)*c
	end
	else
	begin
		Left:= (1 + (a+c-R) div a) * (1 + (a+c+R) div b);
		Right:= 2 * (1 + (c*(a+b) div AB));
	
		if AB > 0 then //если делили на + то знак неравнества не меняется
			result:= Left<Right
		else if (AB<0) then// делили на минус знак поменялся
			result:= Left>=Right
	end;

{result:= Истина если точка внутри сферы иначе Ложь}
end;